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par CG

Pythagore : un théorème accessoire

22/04/2013 dans épistémologie, histoire, mathématiciens, tout public

Hommage des pythagoriciens au soleil levant (Fedor Bronnikov, 1869)

Homme ou divinité

Tout le monde sait que Pythagore est un mathématicien grec antique, auteur d’un fameux théorème sur le triangle rectangle… Qui était en réalité ce mathématicien ? Son apport se limite-t-il à ce théorème ?

L’homme, s’il existe, aurait vécu au 6ème siècle av JC. On devrait parler de surhomme, tant son savoir est étendu et ses activités prodigieuses. Mais dans la Grèce antique nourrie de légendes et de mysticisme, la figure de Pythagore est plutôt celle d’une idole fondatrice d’une « école » qui propagea son savoir et ses idées sur dix générations. Plus qu’une école, il s’agit d’une confrérie à la limite de la secte, avec ses rites et ses préceptes.

La pensée pythagoricienne

Elle concerne autant la philosophie, la religion, la politique que les mathématiques. Elle établit de fortes correspondances entre arithmétique et géométrie. Elle invente une mystique des nombres. Elle prétend tout expliquer par le nombre (sous-entendu entier) et les rapports de nombres (nombres rationnels). Mais un jour, cette pensée accouche d’un monstre : un pythagoricien découvre l’incommensurabilité du côté du carré et sa diagonale (soit pour nous l’irrationalité de \sqrt 2). C’est un grand échec pour le pythagorisme et le début du déclin de son influence sur les mathématiques. A la suite de cela, Platon (5ème siècle av JC) devra installer les mathématiques sur des bases philosophiques nouvelles.

Le fameux théorème

Quant au théorème sur le carré de l’hypoténuse, il est énoncé dans les Eléments d’Euclide (3ème siècle av JC) avec sa réciproque et une belle démonstration géométrique (figure ci-contre). On pense qu’Euclide l’a trouvée chez Pythagore, ou du moins dans les écrits de ses disciples. Mais rien n’est certain.

Pour les élèves de prépa, le théorème de Pythagore devient un corollaire évident des identités remarquables dans les espaces préhilbertiens. Dans le cas réel, on a ainsi l’équivalence entre la relation sur les carrés des côtés du triangle et le fait qu’il soit rectangle. Attention toutefois aux espaces préhilbertiens complexes : le théorème y est sans réciproque.

Le théorème-culte se trouve ainsi démystifié mais n’oublions pas que l’œuvre de Pythagore va bien au-delà de ce simple résultat : c’est un immense courant de pensée dont l’influence a traversé les siècles.

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Démontrer l’impossible

13/01/2013 dans épistémologie, histoire, mathématiciens, tout public

De nombreuses recherches mathématiques s’acharnent sur des problèmes difficiles dont on ne trouve pas la solution. On finit par se demander si elle existe vraiment. Alors démarre une autre recherche qui vise à établir l’impossibilité de la solution, ce qui clôt le problème.

Des équations aux enchères

On trouve un exemple de cette situation dans la résolution des équations polynomiales. L’histoire en est assez tourmentée. On connaît depuis longtemps les formules de l’équation du 2ème degré, avec les racines carrées du discriminant (algèbre indienne, Brahmagupta, 7ème siècle). Aux 15ème et 16ème siècles, les savants italiens théâtralisent les mathématiques (voir l’article « Dévoiler en place publique ses inventions… et ses complexes») : de secrets en trahisons, tous les procédés sont bons pour briller dans des défis souvent monétisés. Scipione del Ferro (1526) trouve une technique pour l’équation du 3ème degré, Tartaglia s’en empare et souffle en secret un poème sibyllin (extrait ci-contre) à Cardan (1539) qui lui-même publie à son compte la méthode (Ars Magna, 1547). Ses formules expriment, pour une équation quelconque, la solution à l’aide de racines cubiques d’une quantité discriminante. Cardan et son disciple Ferrari (v1550) savent rattacher l’équation du quatrième degré aux formules de Cardan. Les siècles suivants (Descartes, Euler, Lagrange) s’épuisent à perfectionner les méthodes pour le 4ème degré.

Retournement de situation

Evariste Galois (1811-1832)

Niels Abel (1802-1829)

Et ensuite ? Rien : personne n’est parvenu à établir une méthode pour l’équation du 5ème degré. Jusqu’au jour où deux jeunes mathématiciens de génie (Evariste Galois, France et Niels Abel, Norvège) se penchent sur le problème. Galois observe des groupes de substitution sur les racines d’une équation, développe les propriétés de la structure de groupe et échafaude une théorie démontrant finalement que l’équation polynomiale générale de degré supérieur ou égal à 5 n’est pas résoluble par radicaux.

Déception ? Au contraire ! Le monde mathématique, d’abord sceptique, s’en trouve soulagé. A la place d’un problème stérile, il dispose d’une structure algébrique très riche qui donnera lieu à de nombreux développements. La théorie de Galois n’a pas fini de trouver des applications en dehors de ce simple corollaire négatif : un grand pas a été franchi. Nous y reviendrons dans un prochain article.

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