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Pythagore : un théorème accessoire

22/04/2013 dans épistémologie, histoire, mathématiciens, tout public

Hommage des pythagoriciens au soleil levant (Fedor Bronnikov, 1869)

Homme ou divinité

Tout le monde sait que Pythagore est un mathématicien grec antique, auteur d’un fameux théorème sur le triangle rectangle… Qui était en réalité ce mathématicien ? Son apport se limite-t-il à ce théorème ?

L’homme, s’il existe, aurait vécu au 6ème siècle av JC. On devrait parler de surhomme, tant son savoir est étendu et ses activités prodigieuses. Mais dans la Grèce antique nourrie de légendes et de mysticisme, la figure de Pythagore est plutôt celle d’une idole fondatrice d’une « école » qui propagea son savoir et ses idées sur dix générations. Plus qu’une école, il s’agit d’une confrérie à la limite de la secte, avec ses rites et ses préceptes.

La pensée pythagoricienne

Elle concerne autant la philosophie, la religion, la politique que les mathématiques. Elle établit de fortes correspondances entre arithmétique et géométrie. Elle invente une mystique des nombres. Elle prétend tout expliquer par le nombre (sous-entendu entier) et les rapports de nombres (nombres rationnels). Mais un jour, cette pensée accouche d’un monstre : un pythagoricien découvre l’incommensurabilité du côté du carré et sa diagonale (soit pour nous l’irrationalité de \sqrt 2). C’est un grand échec pour le pythagorisme et le début du déclin de son influence sur les mathématiques. A la suite de cela, Platon (5ème siècle av JC) devra installer les mathématiques sur des bases philosophiques nouvelles.

Le fameux théorème

Quant au théorème sur le carré de l’hypoténuse, il est énoncé dans les Eléments d’Euclide (3ème siècle av JC) avec sa réciproque et une belle démonstration géométrique (figure ci-contre). On pense qu’Euclide l’a trouvée chez Pythagore, ou du moins dans les écrits de ses disciples. Mais rien n’est certain.

Pour les élèves de prépa, le théorème de Pythagore devient un corollaire évident des identités remarquables dans les espaces préhilbertiens. Dans le cas réel, on a ainsi l’équivalence entre la relation sur les carrés des côtés du triangle et le fait qu’il soit rectangle. Attention toutefois aux espaces préhilbertiens complexes : le théorème y est sans réciproque.

Le théorème-culte se trouve ainsi démystifié mais n’oublions pas que l’œuvre de Pythagore va bien au-delà de ce simple résultat : c’est un immense courant de pensée dont l’influence a traversé les siècles.

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La quadrature du cercle

11/03/2013 dans histoire, mathématiciens, mathématiques savantes, prépa 2ème année, tout public

Archimède par Domenico Fetti (1620)

Le nombre Pi dans l’histoire

On a beaucoup écrit sur le nombre \pi, son histoire, les investigations auxquelles il a donné lieu, la course aux décimales (voir encadré)… \pi est un objet culte en mathématiques, découvert très tôt et qui intervient dans de nombreux calculs de manière parfois troublante.

Déjà dans les tablettes babyloniennes (2000 ans av JC) on pressent un rapport constant entre le périmètre et le diamètre de tout cercle (\pi=\frac{p}{d}) et on cherche à l’approcher. Archimède (3è siècle av JC), par une méthode que nous appellerions de « convergence par encadrement », établit que ce rapport constant entre périmètre et diamètre est le même qu’entre surface et carré du rayon (\pi=\frac{S}{r^2}).

Une constante reconstruite

Dans ce poème, les décimales de Pi correspondent au nombre de lettres de chaque mot : 3,14159….

En mathématiques actuelles, la tendance est de donner un statut à \pi en construisant d’abord les fonctions trigonométriques. Cette construction est présentée dans les classes de MP, PC, PSI comme corollaire de la théorie des séries entières. L’exponentielle complexe est définie comme l’application de \mathbb C dans \mathbb C somme de la série entière \Sigma \frac{z^n}{n!} (de rayon de convergence infini). Le cosinus est alors la partie réelle de la fonction t \longrightarrow \mathrm{e}^{it}. Les propriétés analytiques de cette fonction permettent de démontrer l’existence d’un plus petit réel positif \alpha tel que \cos \alpha = 0, et donc d’un réel \pi = 2 \alpha.

Une autre définition, plus directe, suppose connue la caractérisation des sous-groupes de (\mathbb R,+). On démontre en effet (et c’est un bon exercice) qu’ils sont soit monogènes (c’est-à-dire du type a \mathbb Z) engendrés par la borne inférieure a de leurs élément strictement positifs, soit denses dans \mathbb R lorsque cette borne inférieure est nulle. Or, l’isomorphisme t \longrightarrow \mathrm{e}^{it}. entre (\mathbb R,+) et (\mathbb U,\mathrm x), a pour noyau un sous-groupe de (\mathbb R,+), de la forme a \mathbb Z, et on pose \pi = a/2.

Transcendance et inconstructibilité

En 1882, Lindemann a démontré que \pi est transcendant, c’est-à-dire qu’il n’est solution d’aucune équation polynomiale à coefficients rationnels. Il est aisé de rattacher cela à la non constructibilité de \pi (voir l’article « Le défi mathématique d’Apollon »). Les mathématiciens grecs (2è siècle av JC) avaient posé le problème de la construction à la règle et au compas d’un carré ayant même surface qu’un cercle donné (« quadrature du cercle »). Si R est le rayon du cercle, le côté de ce carré sera \sqrt\pi R. On sait donc maintenant que \pi n’étant pas constructible, \sqrt \pi non plus et la quadrature du cercle est sans solution !

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Le défi mathématique d’Apollon

11/02/2013 dans histoire, mathématiciens, mathématiques savantes, prépa 2ème année, tout public

Ruines du sanctuaire d’Apollon à Delos (ile des Cyclades)

Un dieu très exigeant

En ce temps (427 av JC) la peste fait rage à Delos … L’oracle est consulté : Apollon demande la construction d’un autel cubique de volume double de celui du temple. Nous dirions : il suffit de multiplier l’arête du cube par \sqrt[3]2. Mais à l’époque, la géométrie est reine des sciences et la validité des théories doit reposer sur les instruments canoniques du géomètre que sont la règle et le compas, c’est-à-dire sur les deux figures fondamentales que sont la droite et le cercle. Effectivement, tous à leurs règles et à leurs compas, les géomètres s’attèlent à la tâche, sans succès. Comment construire exactement la longueur \sqrt[3]2 avec une règle et un compas ?

Des points constructibles

L’enseignement de la géométrie au collège, resté très proche des méthodes grecques antiques, fournit aux collégiens des techniques pour construire une médiatrice, une bissectrice, le milieu d’un segment, etc… En réalité qu’est-ce qui est constructible, qu’est-ce qui ne l’est pas ?

Galois : carte philatélique lors de l’émission d’un timbre postal en 1982

A partir des extensions de corps (1), issues de la théorie de Galois (voir l’article « Démontrer l’impossible »), on établit qu’un point est constructible si et seulement si son affixe complexe est située dans un sous corps de \mathbb C obtenu par extensions successives du corps des rationnels, chaque extension étant un espace vectoriel de dimension 2 sur l’extension précédente (2). Autrement dit :

    \[z \in K_n \subset \mathbb C \ \  \mathrm{avec}\  \mathbb Q = K_0 \subset K_1 \dots \subset  K_n\]

où chaque K_i est un corps, surcorps de K_{i-1},espace vectoriel sur K_{i-1} de dimension 2.
Par produit des dimensions sur les sous-corps emboîtés, K_n sera un espace vectoriel sur \mathbb Q de dimension 2^n.

La duplication du cube

Or on démontre que le plus petit corps contenant \mathbb Q et \sqrt[3]2, noté \mathbb Q[\sqrt[3]2] est un espace vectoriel sur \mathbb Q de dimension 3. Si \sqrt[3]2 était constructible il serait dans une extension K_n de dimension 2^n sur \mathbb Q. Or K_n contiendrait \mathbb Q[\sqrt[3]2] (puisque c’est le plus petit corps contenant \sqrt[3]2 ), serait un espace vectoriel sur \mathbb Q[\sqrt[3]2] de dimension p. Par le produit des dimensions on aurait 3p = 2^n, ce qui est impossible ! Donc \sqrt[3]2 n’est pas constructible.

Le problème de la duplication du cube n’a pas de solution. Apollon le savait-il ? On peut le penser car Platon voyait dans le défi d’Apollon un prétexte pour forcer les humains à progresser en géométrie.
Dans le même genre, deux autres problèmes grecs antiques ont été posés : la quadrature du cercle et la trisection de l’angle, tous deux sans solutions. Nous en reparlerons à propos du nombre \pi.

\hrule
Notes :
(1)Notons qu’au concours des Mines, en 1995, on a posé en MP un problème entier sur les extensions de corps et la constructibilité
(2)Un exemple de cette situation avec z=1 + i \sqrt 2. On a z \in K_2 tel que \mathbb Q \subset K_1 = \mathbb Q[\sqrt 2] \subset K_1[i] = K_2
\mathbb Q[\sqrt 2] = \{a+b \sqrt 2 |(a,b) \in \mathbb Q \} (espace vectoriel sur \mathbb Q de dimension 2) et K_1[i] = \{c+d i | (c,d) \in K_1\} (espace vectoriel sur K_1 de dimension 2)

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Démontrer l’impossible

13/01/2013 dans épistémologie, histoire, mathématiciens, tout public

De nombreuses recherches mathématiques s’acharnent sur des problèmes difficiles dont on ne trouve pas la solution. On finit par se demander si elle existe vraiment. Alors démarre une autre recherche qui vise à établir l’impossibilité de la solution, ce qui clôt le problème.

Des équations aux enchères

On trouve un exemple de cette situation dans la résolution des équations polynomiales. L’histoire en est assez tourmentée. On connaît depuis longtemps les formules de l’équation du 2ème degré, avec les racines carrées du discriminant (algèbre indienne, Brahmagupta, 7ème siècle). Aux 15ème et 16ème siècles, les savants italiens théâtralisent les mathématiques (voir l’article « Dévoiler en place publique ses inventions… et ses complexes») : de secrets en trahisons, tous les procédés sont bons pour briller dans des défis souvent monétisés. Scipione del Ferro (1526) trouve une technique pour l’équation du 3ème degré, Tartaglia s’en empare et souffle en secret un poème sibyllin (extrait ci-contre) à Cardan (1539) qui lui-même publie à son compte la méthode (Ars Magna, 1547). Ses formules expriment, pour une équation quelconque, la solution à l’aide de racines cubiques d’une quantité discriminante. Cardan et son disciple Ferrari (v1550) savent rattacher l’équation du quatrième degré aux formules de Cardan. Les siècles suivants (Descartes, Euler, Lagrange) s’épuisent à perfectionner les méthodes pour le 4ème degré.

Retournement de situation

Evariste Galois (1811-1832)

Niels Abel (1802-1829)

Et ensuite ? Rien : personne n’est parvenu à établir une méthode pour l’équation du 5ème degré. Jusqu’au jour où deux jeunes mathématiciens de génie (Evariste Galois, France et Niels Abel, Norvège) se penchent sur le problème. Galois observe des groupes de substitution sur les racines d’une équation, développe les propriétés de la structure de groupe et échafaude une théorie démontrant finalement que l’équation polynomiale générale de degré supérieur ou égal à 5 n’est pas résoluble par radicaux.

Déception ? Au contraire ! Le monde mathématique, d’abord sceptique, s’en trouve soulagé. A la place d’un problème stérile, il dispose d’une structure algébrique très riche qui donnera lieu à de nombreux développements. La théorie de Galois n’a pas fini de trouver des applications en dehors de ce simple corollaire négatif : un grand pas a été franchi. Nous y reviendrons dans un prochain article.

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Dévoiler en place publique ses inventions… et ses complexes

13/11/2012 dans histoire, lycéens, mathématiciens, mathématiques savantes, prépa 1ère année, prépa 2ème année, tout public

La cour de Mantoue à la Renaissance par Mantegna (1474)

Débordement d’imagination

Aux 15ème et 16ème siècles, la Renaissance italienne déferle sur les arts, les techniques, et aussi sur les mathématiques. Le déclin de l’empire byzantin fait converger vers l’Italie des érudits qui apportent avec eux les précieux travaux algébriques des mathématiciens arabes. Dans l’enthousiasme de ce bond culturel universel, les mathématiques deviennent un art quasi populaire : sur les places de Mantoue, de Vérone, de Padoue, de Venise on se passionne pour des joutes intellectuelles, où des savants s’affrontent à résoudre des équations.

Ouvrage de Tartaglia (1499-1557)

Gerolamo Cardano (1501-1576)

L’émulation est forte et, dans la foulée, l’équation du 3ème degré est résolue (Tartaglia, 1535 et Cardan, 1547) par une méthode faisant intervenir une quantité discriminante (un peu comme le « delta » du 2ème degré). Mais dans certains cas, les trois solutions existent alors que les formules de Cardan butent sur la racine carrée d’un nombre négatif. On mesure l’obstacle, on tergiverse, et un jour on ose : Rafaele Bombelli (1572) invente un nombre de carré -1, appelé « piu di meno », utilisé avec des règles de calcul judicieuses dans les formules de Cardan. L’intrus imaginaire disparaît sans laisser de trace dans l’expression des solutions. D’autant plus génial qu’on ne fait guère mieux aujourd’hui !

Les vieilles terreurs

Pas si vite, disent les mathématiciens effrayés par cette entorse aux règles du calcul algébrique (un carré doit être positif). On redoute surtout l’incohérence. S’ensuit pour plusieurs siècles une controverse qui fait resurgir les vieilles terreurs grecques devant l’irrationnel.
Une double problématique menace cette nouveauté :

1) Est-elle incontournable ? Très vite on se rend compte que ces nombres imaginaires lèvent de nombreux obstacles dans la résolution des équations et même qu’ils fournissent n solutions à l’équation polynomiale degré n : c’est le théorème de d’Alembert (1746) énoncé en réalité par Girard (1629) et complètement démontré par Gauss (1799). On dit à présent que \mathbb C est la clôture algébrique de \mathbb R.

Ouvrage de Rafaele Bombelli (1526-1572)

2) Comment l’intégrer à l’univers mathématique ? Dans un domaine scientifique où la géométrie prévaut, c’est ce biais qui vient naturellement à l’esprit : Argand (1806) puis Gauss (1831), voient dans le nombre complexe un avatar abstrait du point du plan. Cette image « commercialisable » installe les nombres complexes dans un statut mathématique mais il manque alors une véritable construction algébrique de \mathbb C

Constructions possibles des complexes

En prépa, il n’est pas demandé de construire \mathbb C, mais on peut étudier, en problème, divers corps isomorphes qui en sont des représentations. Voici trois exemples :
1- Hamilton (1846) pose une multiplication convenable sur \mathbb Rx\mathbb R muni de son addition usuelle : un peu laborieux pour établir la structure de corps (1).
2- On peut présenter \mathbb C comme une sous-algèbre de \mathcal M_2(\mathbb R) de dimension 2 (matrices de similitudes) : belle application du cours première année sur les matrices (2).
3- Je préfère la construction de Bourbaki (pressentie par Cauchy en 1847) car c’est une jolie « recette express » qui fait les délices des étudiants de MP, MP* : quotientez l’anneau \mathbb R [X] par l’idéal engendré par X^2+1. Ce polynôme étant irréductible, l’idéal principal est maximal, donc l’anneau quotient devient un corps que vous appellerez « corps des nombres complexes » (3).

Et les équations de la Renaissance dans tout cela ? Il ne faut pas croire que la recherche s’est arrêtée au 3ème degré. Mais la suite est une autre histoire que je vous conterai dans un prochain billet.

\hrule

Notes :
(1) C’est un bon exercice à faire en début de 1ère année de prépa. Les lois de composition sont :
(a,b)+(a',b') = (a+a',b+b') et (a,b)x(a',b')=(aa'-bb',ab'+ba')
L’élément neutre de la multiplication est (1,0) et on a (0,1)^2=-(1,0)

(2) Il s’agit de matrices de la forme \left(\begin{array}{cc}a&-b\\b&a\end{array}\right). Vous pouvez démontrer que l’ensemble de ces matrices lorsque a et b décrivent \mathbb R est une sous-algèbre de \mathcal M_2(\mathbb R) qui est un corps.
L’élément neutre de la multiplication est I_2 et on a \left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)^2 = -I_2

(3) Un idéal I d’un anneau A est maximal si pour tout idéal J de A, I \subsetneq J entraine J=A. On utilise ici une relation de Bezout entre X^2+1 et tout polynôme qui n’en est pas un multiple.
L’élément neutre est ici Cl(1) et on a (Cl(X))^2 = -Cl(1)

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