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MATHPRIM’ : votre soutien à Nice

28/09/2013 dans lycéens, prépa 1ère année, prépa 2ème année, prépa intégrée, tout public, université

Fort d’une expérience concluante, à Lyon et à Nice, du soutien en lycée (terminale S), en classes préparatoires scientifiques et économiques, en école d’ingénieurs (INSA, EPFL, Polytech), MATHPRIM’ développe son action présentielle à Nice.

Notre offre est large et souple

MATHPRIM’ peut se charger du suivi régulier de vos études.
MATHPRIM’ intervient aussi pour des besoins ponctuels, et vous propose, en août ou pendant les petites vacances, des stages individuels intensifs pour faire le point sur une période, sur un thème, pour préparer une rentrée ou un nouveau semestre.

Un suivi régulier efficace

Il ne faut pas attendre de se trouver en difficulté pour faire appel à MATHPRIM’ : un suivi régulier (par exemple une heure et demie ou deux heures chaque semaine) débuté le plus tôt possible dans l’année scolaire est un coaching très efficace.

Un stage avec MATHPRIM’

A chaque période de vacances, MATHPRIM’ vous accompagne dans vos efforts de révisions par un mini stage individuel de vacances de 8 à 10 heures de cours, adapté à vos besoins, assorti d’un support documentaire conçu spécifiquement selon vos demandes (exercices, problèmes, fiches-méthode ou autres) et d’un bilan personnalisé pour vous aider à en tirer le meilleur profit.

Des révisions dès les vacances de la Toussaint

Avec deux semaines de vacances à la fin octobre, il est raisonnable pour un étudiant de consacrer quatre ou cinq demi-journées à un retour sur les premières semaines de cours. Les connaissances superposées depuis la rentrée sont comme une maison qu’il faut repeindre à neuf avant de s’y installer pour le reste de l’année.

Avec MATHPRIM’ toute demande a sa réponse

MATHPRIM’ peut aussi répondre à toute demande ponctuelle de cours de mathématiques, même en dehors du créneau scolaire.

Les modalités

Consultez l’offre de MATHPRIM’. Contactez MATHPRIM’ au 06 88 72 25 27, ou contact@mathprim.xyz pour vous renseigner et préciser votre demande.
L’offre de MATHPRIM’ est souple et s’adapte à vos besoins. Un devis vous sera fourni pour toute demande particulière.

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Dévoiler en place publique ses inventions… et ses complexes

13/11/2012 dans histoire, lycéens, mathématiciens, mathématiques savantes, prépa 1ère année, prépa 2ème année, tout public

La cour de Mantoue à la Renaissance par Mantegna (1474)

Débordement d’imagination

Aux 15ème et 16ème siècles, la Renaissance italienne déferle sur les arts, les techniques, et aussi sur les mathématiques. Le déclin de l’empire byzantin fait converger vers l’Italie des érudits qui apportent avec eux les précieux travaux algébriques des mathématiciens arabes. Dans l’enthousiasme de ce bond culturel universel, les mathématiques deviennent un art quasi populaire : sur les places de Mantoue, de Vérone, de Padoue, de Venise on se passionne pour des joutes intellectuelles, où des savants s’affrontent à résoudre des équations.

Ouvrage de Tartaglia (1499-1557)

Gerolamo Cardano (1501-1576)

L’émulation est forte et, dans la foulée, l’équation du 3ème degré est résolue (Tartaglia, 1535 et Cardan, 1547) par une méthode faisant intervenir une quantité discriminante (un peu comme le « delta » du 2ème degré). Mais dans certains cas, les trois solutions existent alors que les formules de Cardan butent sur la racine carrée d’un nombre négatif. On mesure l’obstacle, on tergiverse, et un jour on ose : Rafaele Bombelli (1572) invente un nombre de carré -1, appelé « piu di meno », utilisé avec des règles de calcul judicieuses dans les formules de Cardan. L’intrus imaginaire disparaît sans laisser de trace dans l’expression des solutions. D’autant plus génial qu’on ne fait guère mieux aujourd’hui !

Les vieilles terreurs

Pas si vite, disent les mathématiciens effrayés par cette entorse aux règles du calcul algébrique (un carré doit être positif). On redoute surtout l’incohérence. S’ensuit pour plusieurs siècles une controverse qui fait resurgir les vieilles terreurs grecques devant l’irrationnel.
Une double problématique menace cette nouveauté :

1) Est-elle incontournable ? Très vite on se rend compte que ces nombres imaginaires lèvent de nombreux obstacles dans la résolution des équations et même qu’ils fournissent n solutions à l’équation polynomiale degré n : c’est le théorème de d’Alembert (1746) énoncé en réalité par Girard (1629) et complètement démontré par Gauss (1799). On dit à présent que \mathbb C est la clôture algébrique de \mathbb R.

Ouvrage de Rafaele Bombelli (1526-1572)

2) Comment l’intégrer à l’univers mathématique ? Dans un domaine scientifique où la géométrie prévaut, c’est ce biais qui vient naturellement à l’esprit : Argand (1806) puis Gauss (1831), voient dans le nombre complexe un avatar abstrait du point du plan. Cette image « commercialisable » installe les nombres complexes dans un statut mathématique mais il manque alors une véritable construction algébrique de \mathbb C

Constructions possibles des complexes

En prépa, il n’est pas demandé de construire \mathbb C, mais on peut étudier, en problème, divers corps isomorphes qui en sont des représentations. Voici trois exemples :
1- Hamilton (1846) pose une multiplication convenable sur \mathbb Rx\mathbb R muni de son addition usuelle : un peu laborieux pour établir la structure de corps (1).
2- On peut présenter \mathbb C comme une sous-algèbre de \mathcal M_2(\mathbb R) de dimension 2 (matrices de similitudes) : belle application du cours première année sur les matrices (2).
3- Je préfère la construction de Bourbaki (pressentie par Cauchy en 1847) car c’est une jolie « recette express » qui fait les délices des étudiants de MP, MP* : quotientez l’anneau \mathbb R [X] par l’idéal engendré par X^2+1. Ce polynôme étant irréductible, l’idéal principal est maximal, donc l’anneau quotient devient un corps que vous appellerez « corps des nombres complexes » (3).

Et les équations de la Renaissance dans tout cela ? Il ne faut pas croire que la recherche s’est arrêtée au 3ème degré. Mais la suite est une autre histoire que je vous conterai dans un prochain billet.

\hrule

Notes :
(1) C’est un bon exercice à faire en début de 1ère année de prépa. Les lois de composition sont :
(a,b)+(a',b') = (a+a',b+b') et (a,b)x(a',b')=(aa'-bb',ab'+ba')
L’élément neutre de la multiplication est (1,0) et on a (0,1)^2=-(1,0)

(2) Il s’agit de matrices de la forme \left(\begin{array}{cc}a&-b\\b&a\end{array}\right). Vous pouvez démontrer que l’ensemble de ces matrices lorsque a et b décrivent \mathbb R est une sous-algèbre de \mathcal M_2(\mathbb R) qui est un corps.
L’élément neutre de la multiplication est I_2 et on a \left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)^2 = -I_2

(3) Un idéal I d’un anneau A est maximal si pour tout idéal J de A, I \subsetneq J entraine J=A. On utilise ici une relation de Bezout entre X^2+1 et tout polynôme qui n’en est pas un multiple.
L’élément neutre est ici Cl(1) et on a (Cl(X))^2 = -Cl(1)

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Le raisonnement par récurrence

08/10/2012 dans lycéens, prépa 1ère année, prépa 2ème année

On emploie le raisonnement par récurrence pour démontrer des propriétés parfois élaborées, qui font intervenir des entiers. Il faut souvent un peu d’intuition (ou une grande habitude) pour savoir s’il est indispensable de raisonner par récurrence ou si une preuve directe est possible.

Une rédaction soignée

Il est important d’apprendre à bien rédiger :

Annonce de la démonstration par récurrence avec l’énoncé de la propriété P(n), et le champ des valeurs de l’entier (pour tout n \geq n_0)
Initialisation : P(n_0) est vraie
Hérédité : Pour tout n fixé, n \geq n_0, P(n) implique P(n+1). On doit voir clairement dans cette partie à quel moment on utilise l’hypothèse de récurrence.
Conclusion

Si vous suivez bien ces consignes, vous êtes en mesure d’aborder des récurrences plus sophistiquées (récurrence sur deux termes, ou récurrence avec prédécesseurs,…). Il est conseillé, dans les cas difficiles, de bien constater que votre récurrence « tourne ».

Des erreurs à ne pas commettre

En voici quelques exemples :

1. Vous posez bien votre démonstration, avec l’initialisation, mais à l’étape « hérédité » vous arrivez à démontrerP(n+1) sans utiliser l’hypothèse de récurrence : cela signifie que la récurrence était inutile et que vous pouviez faire une démonstration « directe ».

2. Vous démontrez P(n+1) en utilisant P(n) mais aussi P(n-1) : ce n’est pas possible avec une récurrence ordinaire. Il faut poser soit une récurrence sur deux termes (avec aussi l’initialisation sur deux termes), soit une récurrence avec prédécesseurs. Cet accident arrive souvent dans les problèmes sur certaines suites (u_{n+1}= au_n+bu_{n-1}) ou sur les familles de polynômes (polynômes de Tchebychev, par exemple, P_{n+1} = 2XP_n - P_{n-1} ).

3. Vous oubliez l’initialisation.
Soit P(n) : 3^{2n+4}-2^n est multiple de 7
Vous pouvez démontrer facilement l’hérédité de cette propriété.
Testez numériquement à la calculatrice : vous voyez que P(n) n’est pas vraie pour n=0,1,2…. Quelle conclusion peut-on donner ?
Si vous savez manipuler les congruences (ici modulo 7), vous pouvez démontrer que P(n) est fausse pour tout n.

4. Vous initialisez à un mauvais rang.
Soit P(n) : dans une assemblée de n personnes, tout le monde porte le même prénom.
P(1) est vraie de manière évidente. Supposons P(n) vraie et soit une assemblée de n+1 personnes. Isolons une personne et considérons l’ensemble des n autres personnes : toutes ont le même prénom d’après l’hypothèse de récurrence. Réintégrons la personne isolée et faisons sortir du groupe une autre personne : nous avons à nouveau un ensemble de n personnes qui ont donc toutes le même prénom. Et finalement toute l’assemblée a bien le même prénom. La propriété est héréditaire, initialisée, donc vraie pour tout n\geq 1.
Cherchez l’erreur…

Principe, axiome ou théorème ?

La présentation qu’on fait aux étudiants de la démonstration par récurrence sème une certaine confusion sur l’origine de ce raisonnement. Certains professeurs disent « principe de récurrence », d’autres « axiome de récurrence », d’autres encore « théorème de récurrence ». De quoi s’agit-il donc ? Je vous en dirai davantage lors d’un prochain billet

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Avant la rentrée, les lectures

26/08/2012 dans lycéens, prépa 1ère année, prépa 2ème année, tout public

Vous êtes bachelier, vous entrez en classe préparatoire et vous avez reçu au début de l’été la liste des ouvrages à acquérir pour préparer le cours de français/philo de l’année…

Acquérir fut facile : vous avez donné la liste à vos parents qui ne demandaient pas mieux que de participer ainsi à votre labeur.

Mais «on» (les parents, les professeurs) a tenté de vous convaincre aussi de lire ces ouvrages, ce que les plus sérieux d’entre vous ont fait. Et ils ont eu raison !

Pour les indécis, les procrastinateurs, les dilettantes, voici quelques idées reçues à combattre :

1- Le français et la philo sont des matières accessoires qu’on a placées dans notre emploi du temps pour nous détendre.

FAUX !

Irrémédiablement faux pour les étudiants de prépa EC, qui n’auraient même pas formulé cette idée, tant ces disciplines sont importantes en prépa EC.

Faux aussi pour les autres prépas qui ont, hélas, souvent tendance à penser les choses ainsi, même s’ils n’osent pas l’exprimer…

Vous travaillez sur des thèmes nationaux et par le jeu des coefficients aux concours, une bonne note en français vous permet d’atteindre l’admissibilité ou de vous distinguer dans le classement. Inversement, une mauvaise note vous pénalise beaucoup. Et comment obtenir une bonne note ? En ayant assimilé et travaillé votre cours, tout comme dans les autres matières : ne comptez pas trop sur vos seuls talents littéraires.

2- J’aurai bien le temps de lire ces ouvrages au moment où on en parlera en cours, sinon j’aurai tout oublié.

FAUX !

Vous n’aurez pas le temps : le rythme des devoirs et des cours à retravailler dans toutes les disciplines est tel que vous n’aurez jamais la disponibilité (ni l’état d’esprit) pour lire à tête reposée et assimiler vos lectures. Il faut avoir lu tranquillement en été et se replonger dans les textes au moment venu.

3- Pour la première année cela n’a pas d’importance, il suffira d’être sérieux l’année du concours.

FAUX !

Les épreuves du concours portent sur le programme des deux années et l’évaluation en français/philo est importante dans votre bilan de première année.

4- Ce que je fais (ou ce que je ne fais pas !) en cours de Français ne concerne pas le prof de maths et d’ailleurs je me demande ce que font les conseils ci-dessus sur un site de mathématiques.

FAUX !

En classe préparatoire, tout concerne tout le monde : les professeurs travaillent en synergie et connaissent très bien leurs élèves. Ils ont pour objectif leur réussite donc ils cherchent à identifier au plus vite les problèmes rencontrés. Le succès aux concours dépend des résultats dans toutes les disciplines donc chaque professeur se sent concerné par vos problèmes même s’ils se situent en dehors de sa discipline.

De même, dans le cadre de mon offre de soutien en mathématiques, j’attire votre attention sur le fait que vous ne parviendrez pas à compenser de graves lacunes en français/philo en prenant des cours de mathématiques : ne gaspillez pas vos chances, lisez !

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