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Démontrer l’impossible

13/01/2013 dans épistémologie, histoire, mathématiciens, tout public

De nombreuses recherches mathématiques s’acharnent sur des problèmes difficiles dont on ne trouve pas la solution. On finit par se demander si elle existe vraiment. Alors démarre une autre recherche qui vise à établir l’impossibilité de la solution, ce qui clôt le problème.

Des équations aux enchères

On trouve un exemple de cette situation dans la résolution des équations polynomiales. L’histoire en est assez tourmentée. On connaît depuis longtemps les formules de l’équation du 2ème degré, avec les racines carrées du discriminant (algèbre indienne, Brahmagupta, 7ème siècle). Aux 15ème et 16ème siècles, les savants italiens théâtralisent les mathématiques (voir l’article « Dévoiler en place publique ses inventions… et ses complexes») : de secrets en trahisons, tous les procédés sont bons pour briller dans des défis souvent monétisés. Scipione del Ferro (1526) trouve une technique pour l’équation du 3ème degré, Tartaglia s’en empare et souffle en secret un poème sibyllin (extrait ci-contre) à Cardan (1539) qui lui-même publie à son compte la méthode (Ars Magna, 1547). Ses formules expriment, pour une équation quelconque, la solution à l’aide de racines cubiques d’une quantité discriminante. Cardan et son disciple Ferrari (v1550) savent rattacher l’équation du quatrième degré aux formules de Cardan. Les siècles suivants (Descartes, Euler, Lagrange) s’épuisent à perfectionner les méthodes pour le 4ème degré.

Retournement de situation

Evariste Galois (1811-1832)

Niels Abel (1802-1829)

Et ensuite ? Rien : personne n’est parvenu à établir une méthode pour l’équation du 5ème degré. Jusqu’au jour où deux jeunes mathématiciens de génie (Evariste Galois, France et Niels Abel, Norvège) se penchent sur le problème. Galois observe des groupes de substitution sur les racines d’une équation, développe les propriétés de la structure de groupe et échafaude une théorie démontrant finalement que l’équation polynomiale générale de degré supérieur ou égal à 5 n’est pas résoluble par radicaux.

Déception ? Au contraire ! Le monde mathématique, d’abord sceptique, s’en trouve soulagé. A la place d’un problème stérile, il dispose d’une structure algébrique très riche qui donnera lieu à de nombreux développements. La théorie de Galois n’a pas fini de trouver des applications en dehors de ce simple corollaire négatif : un grand pas a été franchi. Nous y reviendrons dans un prochain article.

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