La quadrature du cercle |

La quadrature du cercle

11/03/2013 dans histoire, mathématiciens, mathématiques savantes, prépa 2ème année, tout public

Archimède par Domenico Fetti (1620)

Le nombre Pi dans l’histoire

On a beaucoup écrit sur le nombre $\pi$ , son histoire, les investigations auxquelles il a donné lieu, la course aux décimales (voir encadré)… $\pi$ est un objet culte en mathématiques, découvert très tôt et qui intervient dans de nombreux calculs de manière parfois troublante.

Déjà dans les tablettes babyloniennes (2000 ans av JC) on pressent un rapport constant entre le périmètre et le diamètre de tout cercle ( $\pi=\frac{p}{d}$ ) et on cherche à l’approcher. Archimède (3è siècle av JC), par une méthode que nous appellerions de « convergence par encadrement », établit que ce rapport constant entre périmètre et diamètre est le même qu’entre surface et carré du rayon ( $\pi=\frac{S}{r^2}$ ).

Une constante reconstruite

Dans ce poème, les décimales de Pi correspondent au nombre de lettres de chaque mot : 3,14159….

En mathématiques actuelles, la tendance est de donner un statut à $\pi$ en construisant d’abord les fonctions trigonométriques. Cette construction est présentée dans les classes de MP, PC, PSI comme corollaire de la théorie des séries entières. L’exponentielle complexe est définie comme l’application de $\mathbb C$ dans $\mathbb C$ somme de la série entière $\Sigma \frac{z^n}{n!}$ (de rayon de convergence infini). Le cosinus est alors la partie réelle de la fonction $t \longrightarrow \mathrm{e}^{it}$ . Les propriétés analytiques de cette fonction permettent de démontrer l’existence d’un plus petit réel positif $\alpha$ tel que $\cos \alpha = 0$ , et donc d’un réel $\pi = 2 \alpha$ .

Une autre définition, plus directe, suppose connue la caractérisation des sous-groupes de $(\mathbb R,+)$ . On démontre en effet (et c’est un bon exercice) qu’ils sont soit monogènes (c’est-à-dire du type $a \mathbb Z$ ) engendrés par la borne inférieure $a$ de leurs élément strictement positifs, soit denses dans $\mathbb R$ lorsque cette borne inférieure est nulle. Or, l’isomorphisme $t \longrightarrow \mathrm{e}^{it}$ . entre $(\mathbb R,+)$ et $(\mathbb U,\mathrm x)$ , a pour noyau un sous-groupe de $(\mathbb R,+)$ , de la forme $a \mathbb Z$ , et on pose $\pi = a/2$ .

Transcendance et inconstructibilité

En 1882, Lindemann a démontré que $\pi$ est transcendant, c’est-à-dire qu’il n’est solution d’aucune équation polynomiale à coefficients rationnels. Il est aisé de rattacher cela à la non constructibilité de $\pi$ (voir l’article « Le défi mathématique d’Apollon »). Les mathématiciens grecs (2è siècle av JC) avaient posé le problème de la construction à la règle et au compas d’un carré ayant même surface qu’un cercle donné (« quadrature du cercle »). Si $R$ est le rayon du cercle, le côté de ce carré sera $\sqrt\pi R$ . On sait donc maintenant que $\pi$ n’étant pas constructible, $\sqrt \pi$ non plus et la quadrature du cercle est sans solution !