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Pythagore : un théorème accessoire

22/04/2013 dans épistémologie, histoire, mathématiciens, tout public

Hommage des pythagoriciens au soleil levant (Fedor Bronnikov, 1869)

Homme ou divinité

Tout le monde sait que Pythagore est un mathématicien grec antique, auteur d’un fameux théorème sur le triangle rectangle… Qui était en réalité ce mathématicien ? Son apport se limite-t-il à ce théorème ?

L’homme, s’il existe, aurait vécu au 6ème siècle av JC. On devrait parler de surhomme, tant son savoir est étendu et ses activités prodigieuses. Mais dans la Grèce antique nourrie de légendes et de mysticisme, la figure de Pythagore est plutôt celle d’une idole fondatrice d’une « école » qui propagea son savoir et ses idées sur dix générations. Plus qu’une école, il s’agit d’une confrérie à la limite de la secte, avec ses rites et ses préceptes.

La pensée pythagoricienne

Elle concerne autant la philosophie, la religion, la politique que les mathématiques. Elle établit de fortes correspondances entre arithmétique et géométrie. Elle invente une mystique des nombres. Elle prétend tout expliquer par le nombre (sous-entendu entier) et les rapports de nombres (nombres rationnels). Mais un jour, cette pensée accouche d’un monstre : un pythagoricien découvre l’incommensurabilité du côté du carré et sa diagonale (soit pour nous l’irrationalité de \sqrt 2). C’est un grand échec pour le pythagorisme et le début du déclin de son influence sur les mathématiques. A la suite de cela, Platon (5ème siècle av JC) devra installer les mathématiques sur des bases philosophiques nouvelles.

Le fameux théorème

Quant au théorème sur le carré de l’hypoténuse, il est énoncé dans les Eléments d’Euclide (3ème siècle av JC) avec sa réciproque et une belle démonstration géométrique (figure ci-contre). On pense qu’Euclide l’a trouvée chez Pythagore, ou du moins dans les écrits de ses disciples. Mais rien n’est certain.

Pour les élèves de prépa, le théorème de Pythagore devient un corollaire évident des identités remarquables dans les espaces préhilbertiens. Dans le cas réel, on a ainsi l’équivalence entre la relation sur les carrés des côtés du triangle et le fait qu’il soit rectangle. Attention toutefois aux espaces préhilbertiens complexes : le théorème y est sans réciproque.

Le théorème-culte se trouve ainsi démystifié mais n’oublions pas que l’œuvre de Pythagore va bien au-delà de ce simple résultat : c’est un immense courant de pensée dont l’influence a traversé les siècles.

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