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par CG

Démontrer l’impossible

13/01/2013 dans épistémologie, histoire, mathématiciens, tout public

De nombreuses recherches mathématiques s’acharnent sur des problèmes difficiles dont on ne trouve pas la solution. On finit par se demander si elle existe vraiment. Alors démarre une autre recherche qui vise à établir l’impossibilité de la solution, ce qui clôt le problème.

Des équations aux enchères

On trouve un exemple de cette situation dans la résolution des équations polynomiales. L’histoire en est assez tourmentée. On connaît depuis longtemps les formules de l’équation du 2ème degré, avec les racines carrées du discriminant (algèbre indienne, Brahmagupta, 7ème siècle). Aux 15ème et 16ème siècles, les savants italiens théâtralisent les mathématiques (voir l’article « Dévoiler en place publique ses inventions… et ses complexes») : de secrets en trahisons, tous les procédés sont bons pour briller dans des défis souvent monétisés. Scipione del Ferro (1526) trouve une technique pour l’équation du 3ème degré, Tartaglia s’en empare et souffle en secret un poème sibyllin (extrait ci-contre) à Cardan (1539) qui lui-même publie à son compte la méthode (Ars Magna, 1547). Ses formules expriment, pour une équation quelconque, la solution à l’aide de racines cubiques d’une quantité discriminante. Cardan et son disciple Ferrari (v1550) savent rattacher l’équation du quatrième degré aux formules de Cardan. Les siècles suivants (Descartes, Euler, Lagrange) s’épuisent à perfectionner les méthodes pour le 4ème degré.

Retournement de situation

Evariste Galois (1811-1832)

Niels Abel (1802-1829)

Et ensuite ? Rien : personne n’est parvenu à établir une méthode pour l’équation du 5ème degré. Jusqu’au jour où deux jeunes mathématiciens de génie (Evariste Galois, France et Niels Abel, Norvège) se penchent sur le problème. Galois observe des groupes de substitution sur les racines d’une équation, développe les propriétés de la structure de groupe et échafaude une théorie démontrant finalement que l’équation polynomiale générale de degré supérieur ou égal à 5 n’est pas résoluble par radicaux.

Déception ? Au contraire ! Le monde mathématique, d’abord sceptique, s’en trouve soulagé. A la place d’un problème stérile, il dispose d’une structure algébrique très riche qui donnera lieu à de nombreux développements. La théorie de Galois n’a pas fini de trouver des applications en dehors de ce simple corollaire négatif : un grand pas a été franchi. Nous y reviendrons dans un prochain article.

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Dévoiler en place publique ses inventions… et ses complexes

13/11/2012 dans histoire, lycéens, mathématiciens, mathématiques savantes, prépa 1ère année, prépa 2ème année, tout public

La cour de Mantoue à la Renaissance par Mantegna (1474)

Débordement d’imagination

Aux 15ème et 16ème siècles, la Renaissance italienne déferle sur les arts, les techniques, et aussi sur les mathématiques. Le déclin de l’empire byzantin fait converger vers l’Italie des érudits qui apportent avec eux les précieux travaux algébriques des mathématiciens arabes. Dans l’enthousiasme de ce bond culturel universel, les mathématiques deviennent un art quasi populaire : sur les places de Mantoue, de Vérone, de Padoue, de Venise on se passionne pour des joutes intellectuelles, où des savants s’affrontent à résoudre des équations.

Ouvrage de Tartaglia (1499-1557)

Gerolamo Cardano (1501-1576)

L’émulation est forte et, dans la foulée, l’équation du 3ème degré est résolue (Tartaglia, 1535 et Cardan, 1547) par une méthode faisant intervenir une quantité discriminante (un peu comme le « delta » du 2ème degré). Mais dans certains cas, les trois solutions existent alors que les formules de Cardan butent sur la racine carrée d’un nombre négatif. On mesure l’obstacle, on tergiverse, et un jour on ose : Rafaele Bombelli (1572) invente un nombre de carré -1, appelé « piu di meno », utilisé avec des règles de calcul judicieuses dans les formules de Cardan. L’intrus imaginaire disparaît sans laisser de trace dans l’expression des solutions. D’autant plus génial qu’on ne fait guère mieux aujourd’hui !

Les vieilles terreurs

Pas si vite, disent les mathématiciens effrayés par cette entorse aux règles du calcul algébrique (un carré doit être positif). On redoute surtout l’incohérence. S’ensuit pour plusieurs siècles une controverse qui fait resurgir les vieilles terreurs grecques devant l’irrationnel.
Une double problématique menace cette nouveauté :

1) Est-elle incontournable ? Très vite on se rend compte que ces nombres imaginaires lèvent de nombreux obstacles dans la résolution des équations et même qu’ils fournissent n solutions à l’équation polynomiale degré n : c’est le théorème de d’Alembert (1746) énoncé en réalité par Girard (1629) et complètement démontré par Gauss (1799). On dit à présent que \mathbb C est la clôture algébrique de \mathbb R.

Ouvrage de Rafaele Bombelli (1526-1572)

2) Comment l’intégrer à l’univers mathématique ? Dans un domaine scientifique où la géométrie prévaut, c’est ce biais qui vient naturellement à l’esprit : Argand (1806) puis Gauss (1831), voient dans le nombre complexe un avatar abstrait du point du plan. Cette image « commercialisable » installe les nombres complexes dans un statut mathématique mais il manque alors une véritable construction algébrique de \mathbb C

Constructions possibles des complexes

En prépa, il n’est pas demandé de construire \mathbb C, mais on peut étudier, en problème, divers corps isomorphes qui en sont des représentations. Voici trois exemples :
1- Hamilton (1846) pose une multiplication convenable sur \mathbb Rx\mathbb R muni de son addition usuelle : un peu laborieux pour établir la structure de corps (1).
2- On peut présenter \mathbb C comme une sous-algèbre de \mathcal M_2(\mathbb R) de dimension 2 (matrices de similitudes) : belle application du cours première année sur les matrices (2).
3- Je préfère la construction de Bourbaki (pressentie par Cauchy en 1847) car c’est une jolie « recette express » qui fait les délices des étudiants de MP, MP* : quotientez l’anneau \mathbb R [X] par l’idéal engendré par X^2+1. Ce polynôme étant irréductible, l’idéal principal est maximal, donc l’anneau quotient devient un corps que vous appellerez « corps des nombres complexes » (3).

Et les équations de la Renaissance dans tout cela ? Il ne faut pas croire que la recherche s’est arrêtée au 3ème degré. Mais la suite est une autre histoire que je vous conterai dans un prochain billet.

\hrule

Notes :
(1) C’est un bon exercice à faire en début de 1ère année de prépa. Les lois de composition sont :
(a,b)+(a',b') = (a+a',b+b') et (a,b)x(a',b')=(aa'-bb',ab'+ba')
L’élément neutre de la multiplication est (1,0) et on a (0,1)^2=-(1,0)

(2) Il s’agit de matrices de la forme \left(\begin{array}{cc}a&-b\\b&a\end{array}\right). Vous pouvez démontrer que l’ensemble de ces matrices lorsque a et b décrivent \mathbb R est une sous-algèbre de \mathcal M_2(\mathbb R) qui est un corps.
L’élément neutre de la multiplication est I_2 et on a \left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)^2 = -I_2

(3) Un idéal I d’un anneau A est maximal si pour tout idéal J de A, I \subsetneq J entraine J=A. On utilise ici une relation de Bezout entre X^2+1 et tout polynôme qui n’en est pas un multiple.
L’élément neutre est ici Cl(1) et on a (Cl(X))^2 = -Cl(1)

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