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par CG

La quadrature du cercle

11/03/2013 dans histoire, mathématiciens, mathématiques savantes, prépa 2ème année, tout public

Archimède par Domenico Fetti (1620)

Le nombre Pi dans l’histoire

On a beaucoup écrit sur le nombre \pi, son histoire, les investigations auxquelles il a donné lieu, la course aux décimales (voir encadré)… \pi est un objet culte en mathématiques, découvert très tôt et qui intervient dans de nombreux calculs de manière parfois troublante.

Déjà dans les tablettes babyloniennes (2000 ans av JC) on pressent un rapport constant entre le périmètre et le diamètre de tout cercle (\pi=\frac{p}{d}) et on cherche à l’approcher. Archimède (3è siècle av JC), par une méthode que nous appellerions de « convergence par encadrement », établit que ce rapport constant entre périmètre et diamètre est le même qu’entre surface et carré du rayon (\pi=\frac{S}{r^2}).

Une constante reconstruite

Dans ce poème, les décimales de Pi correspondent au nombre de lettres de chaque mot : 3,14159….

En mathématiques actuelles, la tendance est de donner un statut à \pi en construisant d’abord les fonctions trigonométriques. Cette construction est présentée dans les classes de MP, PC, PSI comme corollaire de la théorie des séries entières. L’exponentielle complexe est définie comme l’application de \mathbb C dans \mathbb C somme de la série entière \Sigma \frac{z^n}{n!} (de rayon de convergence infini). Le cosinus est alors la partie réelle de la fonction t \longrightarrow \mathrm{e}^{it}. Les propriétés analytiques de cette fonction permettent de démontrer l’existence d’un plus petit réel positif \alpha tel que \cos \alpha = 0, et donc d’un réel \pi = 2 \alpha.

Une autre définition, plus directe, suppose connue la caractérisation des sous-groupes de (\mathbb R,+). On démontre en effet (et c’est un bon exercice) qu’ils sont soit monogènes (c’est-à-dire du type a \mathbb Z) engendrés par la borne inférieure a de leurs élément strictement positifs, soit denses dans \mathbb R lorsque cette borne inférieure est nulle. Or, l’isomorphisme t \longrightarrow \mathrm{e}^{it}. entre (\mathbb R,+) et (\mathbb U,\mathrm x), a pour noyau un sous-groupe de (\mathbb R,+), de la forme a \mathbb Z, et on pose \pi = a/2.

Transcendance et inconstructibilité

En 1882, Lindemann a démontré que \pi est transcendant, c’est-à-dire qu’il n’est solution d’aucune équation polynomiale à coefficients rationnels. Il est aisé de rattacher cela à la non constructibilité de \pi (voir l’article « Le défi mathématique d’Apollon »). Les mathématiciens grecs (2è siècle av JC) avaient posé le problème de la construction à la règle et au compas d’un carré ayant même surface qu’un cercle donné (« quadrature du cercle »). Si R est le rayon du cercle, le côté de ce carré sera \sqrt\pi R. On sait donc maintenant que \pi n’étant pas constructible, \sqrt \pi non plus et la quadrature du cercle est sans solution !

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Le défi mathématique d’Apollon

11/02/2013 dans histoire, mathématiciens, mathématiques savantes, prépa 2ème année, tout public

Ruines du sanctuaire d’Apollon à Delos (ile des Cyclades)

Un dieu très exigeant

En ce temps (427 av JC) la peste fait rage à Delos … L’oracle est consulté : Apollon demande la construction d’un autel cubique de volume double de celui du temple. Nous dirions : il suffit de multiplier l’arête du cube par \sqrt[3]2. Mais à l’époque, la géométrie est reine des sciences et la validité des théories doit reposer sur les instruments canoniques du géomètre que sont la règle et le compas, c’est-à-dire sur les deux figures fondamentales que sont la droite et le cercle. Effectivement, tous à leurs règles et à leurs compas, les géomètres s’attèlent à la tâche, sans succès. Comment construire exactement la longueur \sqrt[3]2 avec une règle et un compas ?

Des points constructibles

L’enseignement de la géométrie au collège, resté très proche des méthodes grecques antiques, fournit aux collégiens des techniques pour construire une médiatrice, une bissectrice, le milieu d’un segment, etc… En réalité qu’est-ce qui est constructible, qu’est-ce qui ne l’est pas ?

Galois : carte philatélique lors de l’émission d’un timbre postal en 1982

A partir des extensions de corps (1), issues de la théorie de Galois (voir l’article « Démontrer l’impossible »), on établit qu’un point est constructible si et seulement si son affixe complexe est située dans un sous corps de \mathbb C obtenu par extensions successives du corps des rationnels, chaque extension étant un espace vectoriel de dimension 2 sur l’extension précédente (2). Autrement dit :

    \[z \in K_n \subset \mathbb C \ \  \mathrm{avec}\  \mathbb Q = K_0 \subset K_1 \dots \subset  K_n\]

où chaque K_i est un corps, surcorps de K_{i-1},espace vectoriel sur K_{i-1} de dimension 2.
Par produit des dimensions sur les sous-corps emboîtés, K_n sera un espace vectoriel sur \mathbb Q de dimension 2^n.

La duplication du cube

Or on démontre que le plus petit corps contenant \mathbb Q et \sqrt[3]2, noté \mathbb Q[\sqrt[3]2] est un espace vectoriel sur \mathbb Q de dimension 3. Si \sqrt[3]2 était constructible il serait dans une extension K_n de dimension 2^n sur \mathbb Q. Or K_n contiendrait \mathbb Q[\sqrt[3]2] (puisque c’est le plus petit corps contenant \sqrt[3]2 ), serait un espace vectoriel sur \mathbb Q[\sqrt[3]2] de dimension p. Par le produit des dimensions on aurait 3p = 2^n, ce qui est impossible ! Donc \sqrt[3]2 n’est pas constructible.

Le problème de la duplication du cube n’a pas de solution. Apollon le savait-il ? On peut le penser car Platon voyait dans le défi d’Apollon un prétexte pour forcer les humains à progresser en géométrie.
Dans le même genre, deux autres problèmes grecs antiques ont été posés : la quadrature du cercle et la trisection de l’angle, tous deux sans solutions. Nous en reparlerons à propos du nombre \pi.

\hrule
Notes :
(1)Notons qu’au concours des Mines, en 1995, on a posé en MP un problème entier sur les extensions de corps et la constructibilité
(2)Un exemple de cette situation avec z=1 + i \sqrt 2. On a z \in K_2 tel que \mathbb Q \subset K_1 = \mathbb Q[\sqrt 2] \subset K_1[i] = K_2
\mathbb Q[\sqrt 2] = \{a+b \sqrt 2 |(a,b) \in \mathbb Q \} (espace vectoriel sur \mathbb Q de dimension 2) et K_1[i] = \{c+d i | (c,d) \in K_1\} (espace vectoriel sur K_1 de dimension 2)

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