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par CG

Le défi mathématique d’Apollon

11/02/2013 dans histoire, mathématiciens, mathématiques savantes, prépa 2ème année, tout public

Ruines du sanctuaire d’Apollon à Delos (ile des Cyclades)

Un dieu très exigeant

En ce temps (427 av JC) la peste fait rage à Delos … L’oracle est consulté : Apollon demande la construction d’un autel cubique de volume double de celui du temple. Nous dirions : il suffit de multiplier l’arête du cube par \sqrt[3]2. Mais à l’époque, la géométrie est reine des sciences et la validité des théories doit reposer sur les instruments canoniques du géomètre que sont la règle et le compas, c’est-à-dire sur les deux figures fondamentales que sont la droite et le cercle. Effectivement, tous à leurs règles et à leurs compas, les géomètres s’attèlent à la tâche, sans succès. Comment construire exactement la longueur \sqrt[3]2 avec une règle et un compas ?

Des points constructibles

L’enseignement de la géométrie au collège, resté très proche des méthodes grecques antiques, fournit aux collégiens des techniques pour construire une médiatrice, une bissectrice, le milieu d’un segment, etc… En réalité qu’est-ce qui est constructible, qu’est-ce qui ne l’est pas ?

Galois : carte philatélique lors de l’émission d’un timbre postal en 1982

A partir des extensions de corps (1), issues de la théorie de Galois (voir l’article « Démontrer l’impossible »), on établit qu’un point est constructible si et seulement si son affixe complexe est située dans un sous corps de \mathbb C obtenu par extensions successives du corps des rationnels, chaque extension étant un espace vectoriel de dimension 2 sur l’extension précédente (2). Autrement dit :

    \[z \in K_n \subset \mathbb C \ \  \mathrm{avec}\  \mathbb Q = K_0 \subset K_1 \dots \subset  K_n\]

où chaque K_i est un corps, surcorps de K_{i-1},espace vectoriel sur K_{i-1} de dimension 2.
Par produit des dimensions sur les sous-corps emboîtés, K_n sera un espace vectoriel sur \mathbb Q de dimension 2^n.

La duplication du cube

Or on démontre que le plus petit corps contenant \mathbb Q et \sqrt[3]2, noté \mathbb Q[\sqrt[3]2] est un espace vectoriel sur \mathbb Q de dimension 3. Si \sqrt[3]2 était constructible il serait dans une extension K_n de dimension 2^n sur \mathbb Q. Or K_n contiendrait \mathbb Q[\sqrt[3]2] (puisque c’est le plus petit corps contenant \sqrt[3]2 ), serait un espace vectoriel sur \mathbb Q[\sqrt[3]2] de dimension p. Par le produit des dimensions on aurait 3p = 2^n, ce qui est impossible ! Donc \sqrt[3]2 n’est pas constructible.

Le problème de la duplication du cube n’a pas de solution. Apollon le savait-il ? On peut le penser car Platon voyait dans le défi d’Apollon un prétexte pour forcer les humains à progresser en géométrie.
Dans le même genre, deux autres problèmes grecs antiques ont été posés : la quadrature du cercle et la trisection de l’angle, tous deux sans solutions. Nous en reparlerons à propos du nombre \pi.

\hrule
Notes :
(1)Notons qu’au concours des Mines, en 1995, on a posé en MP un problème entier sur les extensions de corps et la constructibilité
(2)Un exemple de cette situation avec z=1 + i \sqrt 2. On a z \in K_2 tel que \mathbb Q \subset K_1 = \mathbb Q[\sqrt 2] \subset K_1[i] = K_2
\mathbb Q[\sqrt 2] = \{a+b \sqrt 2 |(a,b) \in \mathbb Q \} (espace vectoriel sur \mathbb Q de dimension 2) et K_1[i] = \{c+d i | (c,d) \in K_1\} (espace vectoriel sur K_1 de dimension 2)

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Démontrer l’impossible

13/01/2013 dans épistémologie, histoire, mathématiciens, tout public

De nombreuses recherches mathématiques s’acharnent sur des problèmes difficiles dont on ne trouve pas la solution. On finit par se demander si elle existe vraiment. Alors démarre une autre recherche qui vise à établir l’impossibilité de la solution, ce qui clôt le problème.

Des équations aux enchères

On trouve un exemple de cette situation dans la résolution des équations polynomiales. L’histoire en est assez tourmentée. On connaît depuis longtemps les formules de l’équation du 2ème degré, avec les racines carrées du discriminant (algèbre indienne, Brahmagupta, 7ème siècle). Aux 15ème et 16ème siècles, les savants italiens théâtralisent les mathématiques (voir l’article « Dévoiler en place publique ses inventions… et ses complexes») : de secrets en trahisons, tous les procédés sont bons pour briller dans des défis souvent monétisés. Scipione del Ferro (1526) trouve une technique pour l’équation du 3ème degré, Tartaglia s’en empare et souffle en secret un poème sibyllin (extrait ci-contre) à Cardan (1539) qui lui-même publie à son compte la méthode (Ars Magna, 1547). Ses formules expriment, pour une équation quelconque, la solution à l’aide de racines cubiques d’une quantité discriminante. Cardan et son disciple Ferrari (v1550) savent rattacher l’équation du quatrième degré aux formules de Cardan. Les siècles suivants (Descartes, Euler, Lagrange) s’épuisent à perfectionner les méthodes pour le 4ème degré.

Retournement de situation

Evariste Galois (1811-1832)

Niels Abel (1802-1829)

Et ensuite ? Rien : personne n’est parvenu à établir une méthode pour l’équation du 5ème degré. Jusqu’au jour où deux jeunes mathématiciens de génie (Evariste Galois, France et Niels Abel, Norvège) se penchent sur le problème. Galois observe des groupes de substitution sur les racines d’une équation, développe les propriétés de la structure de groupe et échafaude une théorie démontrant finalement que l’équation polynomiale générale de degré supérieur ou égal à 5 n’est pas résoluble par radicaux.

Déception ? Au contraire ! Le monde mathématique, d’abord sceptique, s’en trouve soulagé. A la place d’un problème stérile, il dispose d’une structure algébrique très riche qui donnera lieu à de nombreux développements. La théorie de Galois n’a pas fini de trouver des applications en dehors de ce simple corollaire négatif : un grand pas a été franchi. Nous y reviendrons dans un prochain article.

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